Question

已知定義在的函數,對任意的、，都有，且當時，.
（1）證明：當時，；
（2）判斷函數的單調性并加以證明；
（3）如果對任意的、，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）先證明，進而證明當時，；
（2）嚴格按照單調函數的定義證明即可；
（3）

試題分析：(1)證明:取,
又,即,
所以當時，；.
(2)在上是減函數,證明如下:
設,

在上是減函數.
(3) ，
而，所以實數的取值范圍為.
點評：解決抽象函數問題的主要方法是“賦值法”，而且抽象函數的單調性的證明知能用定義，利
用基本不等式求最值時，要注意“一正二定三相等”三個條件缺一不可.