Question

已知點B（6，0）和點C（-6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k₁，直線m的斜率為k₂，
（1）如果k₁•k₂=-

4

9

，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點坐標；
（2）如果k₁•k₂=

4

9

，求點A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k₁•k₂=k（k≠0，k≠-1），根據（1）和（2），你能得到什么結論？（不需要證明所得結論）

Answer 1

分析：（1）求出直線l、m的斜率，利用k₁•k₂=-

4

9

，化簡方程，即可求得結論；
（2）求出直線l、m的斜率，利用k₁•k₂=

4

9

，化簡方程，即可求得結論；
（3）求出直線l、m的斜率，利用k₁•k₂=k，化簡方程，對參數討論，即可求得結論；

解答：解：（1）直線l過點B（6，0），斜率為k₁，則其直線方程為：y-0=k₁（x-6），所以，k₁=

y

x-6

同理，k₂=

y

x+6

∵k₁•k₂=-

4

9

，∴

y

x-6

•

y

x+6

=-

4

9

，
∴9y²=-4（x²-36）
∴

x2

36

+

y2

16

=1，它表示橢圓，焦點坐標為（±2

5

，0）；
（2）∵k₁•k₂=

4

9

，∴

y

x-6

•

y

x+6

=

4

9

，∴9y²=4（x²-36）
∴

x2

36

-

y2

16

=1，它表示雙曲線，離心率為

13

3

；
（3）∵k₁•k₂=k，∴

y

x-6

•

y

x+6

=k，∴y²=k（x²-36）
∴

x2

36

-

y2

36k

=1
當k＞0時，表示雙曲線； 當k＜0且k≠-1時，表示橢圓；當k=-1時，表示圓．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生的計算能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．