Question

具有性質：f（

1

x

）=-f（x）的函數，我們稱為滿足“倒負”變換的函數，下列函數：

①y=x-

1

x

；②y=x+

1

x

；③y=lnx（x＞0）④y=

x，(0＜x＜1) y，(x=1) - 1 x (x＞1)

其中滿足“倒負”變換的函數是

①③④

．

Answer 1

分析：新定義具有性質：f（

1

x

）=-f（x）的函數，稱為滿足“倒負”變換的函數，題目給出的四個函數中，除最后一個是分段函數外，其余三個給出的是常見的解析式，我們只要把解析式中的x換成

1

x

，整理后看是否等于f（-x）就可以了，最后一個分段函數，在0＜x＜1時，

1

x

＞1，在-

1

x

中把x換

1

x

，x=1時

1

x

=1，f(

1

x

)=0，x＞1時0＜

1

x

＜1，x換成

1

x

解答：解：對于f(x)=x-

1

x

，有f(

1

x

)=

1

x

-

1

1 x

=

1

x

-x=-(x-

1

x

)=-f（x），滿足“倒負”變換；
對于f(x)=x+

1

x

，有f(

1

x

)=

1

x

+

1

1 x

=x+

1

x

=f（x），不滿足“倒負”變換；
對于f（x）=lnx，有f(

1

x

)=ln

1

x

=-lnx=-f（x），滿足“倒負”變換；
對于f(x)=

x(0＜x＜1) 0(x=1) - 1 x (x＞1)

，有f(

1

x

)=

-x(0＜x＜1) 0(x=1) 1 x (x＞1)

-f(x)=

-x(0＜x＜1) 0(x=1) 1 x (x＞1)

所以f(

1

x

)=-f(x)，滿足“倒負”變換．
故答案為①③④．

點評：本題是新定義下的函數解析式的求解問題，解題的關鍵是求f(

1

x

)，特別是對函數④的分析，既要考慮取倒數后變量的范圍，又要在原函數解析式中把x換成

1

x

．