Question

將一幅斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中AD=BD=，∠BAC=30°，若它們的斜邊AB重合，讓三角板ABD以AB為軸轉動，則下列說法正確的是________．
①當平面ABD⊥平面ABC時，C、D兩點間的距離為；
②在三角板ABD轉動過程中，總有AB⊥CD；
③在三角板ABD轉動過程中，三棱錐D-ABC體積的最大值為．

Answer 1

①③
分析：①結合圖象，利用面面垂直的性質及直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半求解；
②用反證法，假設垂直，根據線面垂直的判定與性質推到是否可能，從而得出結論；
③根據棱錐的體積公式，在底面積不變的情況下，體積的大小取決于高，當平面ABD⊥平面ABC時，高最大，求出即可．
解答：解：①取AB中點O，連接DO、CO，
∵AD=BD=，∴DO=1，AB=2，OC=1
∵平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，DO⊥OC，
∴DC=，①正確；
②若AB⊥CD，則AB⊥平面CDO，AB⊥OC，∵O為中點，∴AC=BC，∠BAC=45°與∠BAC=30°矛盾，∴②錯誤；
③當DO⊥平面ABC時，棱錐的高最大，此時V_棱錐=××AC×BC×DO=××1×1=．③正確．
故答案是①③
點評：本題考查面面垂直的性質、線面垂直的性質及棱錐的體積公式．V_棱錐=Sh．