Question

已知（1+2x）ⁿ的二項展開式中，某一項的系數是它前一項系數的2倍，是它后一項系數的

5

6

．
（1）求n的值；
（2）求（1+2x）ⁿ的展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出相鄰三項的系數，據題意，列出方程；利用組合數公式求出n的值．
（2）設系數最大的項為第r+1項，令它的系數大于等于第r項的系數同時大于等于第r+1項的系數，列出不等式組，利用組合數公式求出r的值，求出二項式展開式中系數最大的項．

解答：解：（1）根據題意，設該項為第r+1項，則有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

（2分）
即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

（4分）
解得

r=4 n=7.

∴n=7．（6分）
（2）設第r+1項系數最大，則有

C r 7 2r≥ C r-1 7 2r-1 C r 7 2r≥ C r+1 7 2r+1

，（8分）
即

2 C r 7 ≥ C r-1 7 C r 7 ≥2 C r+1 7

亦即

2 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(7-r+1)! 7! r!(7-r)! ≥2 7! (r+1)!(7-r-1)!

（10分）
解得

2 r ≥ 1 8-r 1 7-r ≥ 2 r+1

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

r=5，（13分）
∴二項式展開式中系數最大的項為T₆=C₇⁵（2x）⁵=672x⁵．（14分）

點評：求展開式的特殊項問題時采用二項展開式的通項公式、二項展開式的系數最大的項的求法是設出系數最大的項，令該項的系數大于等于它前一項的系數同時等于等于它后一項的系數．