Question

（2013•虹口區一模）在正四棱錐P-ABCD中，側棱PA的長為2

5

，PA與CD所成的角的大小等于arccos

10

5

．
（1）求正四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若正四棱錐P-ABCD的五個頂點都在球O的表面上，求此球O的半徑．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點M，記正方形ABCD對角線的交點為O'，連PM，PO'，AC，則AC過O'．求出四棱錐的底面面積，與高，即可求正四棱錐P-ABCD的體積；
（2）正四棱錐P-ABCD的五個頂點都在球O的表面上，連AO，OO'，設球的半徑為R，通過解直角三角形，求此球O的半徑．

解答： 解：（1）取AB的中點M，記正方形ABCD對角線的交點為O'，連PM，PO'，AC，則AC過O'．
∵PA=PB，∴PM⊥AB，又cos∠PAM=

10

5

，PA=2

5

，得AM=2

2

．…（4分）
AO'=4，PO'=2VP-ABCD=

1

3

S底•PO′=

1

3

•(4

2

)2•2=

64

3

∴正四棱錐P-ABCD的體積等于

64

3

（立方單位）．…（8分）
（2）連AO，OO'，設球的半徑為R，則OA=R，OO'=R-PO'=R-2，在Rt△OO'A中有R²=（R-2）²+4²，得R=5．…（12分）

點評：本題考查球的內接多面體，球的半徑以及幾何體的體積，考查計算能力與空間想象能力．