Question

已知函數．
（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的單調區間；
（Ⅲ）設函數．若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）的單調遞增區間為和，單調遞減區間為
（3）

試題分析：函數的定義域為，   1分
．    2分
（Ⅰ）當時，函數，，．
所以曲線在點處的切線方程為，
即．                  4分
（Ⅱ）函數的定義域為．   
（i）當時，在上恒成立，
則在上恒成立，此時在上單調遞減． 5分
（2）當時，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；   6分
由，即，得．        7分
所以函數的單調遞增區間為和，
單調遞減區間為． 8分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調遞增．          9分
（Ⅲ））因為存在一個使得，
則，等價于.  10分
令，等價于“當 時，”. 
對求導，得.  11分
因為當時，，所以在上單調遞增.   12分
所以，因此.      13分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于基礎題。