Question

【題目】已知圓和圓．

(1)若直線過點，且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；

(2)設為平面上的點，滿足:存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)或；(2) 或

【解析】

（1）因為直線過點，故可以設出直線的點斜式方程，又由直線被圓截得的弦長為，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到關于直線斜率的方程，解方程求出值，代入即得直線的方程；

（2）與（1）相同，我們可以設出過點的直線和的點斜式方程，由于兩直線斜率積為1，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等， 故我們可以得到一個關于直線斜率的方程，解方程求出值，代入即得直線和的方程.

(1)由于直線與圓不相交，

所以直線的斜率存在，設直線方程為 ，

圓的圓心到直線的距離為，

因為直線被圓截得的弦長為 ，

所以 ，

又 ，從而

即或

所以直線的方程為或 .

(2) 設點滿足條件，

由題意分析可得直線和的斜率均存在且不為0，

不妨設直線的方程為，

則直線方程為 ，

因為和的半徑相等，及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，

所以圓的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，

即

整理得

即

或

因為的取值有無窮多個，所以 或

解得 或

這樣的點只可能是點 或點 .