Question

已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R）在復(fù)平面上對應(yīng)的點為M．
（Ⅰ）設(shè)集合P={-4，-3，-2，0}，Q={0，1，2}，從集合P中隨機取一個數(shù)作為x，從集合Q中隨機取一個
數(shù)作為y，求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率；
（Ⅱ）設(shè)x∈[0，3]，y∈[0，4]，求點M落在不等式組：

x+2y-3≤0 x≥0 y≥0

所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）每種情況出現(xiàn)的可能性相等，是一個古典概型列舉出試驗發(fā)生包含的所有事件是組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個，其中事件A包含的基本事件共2個：i，2i．根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是在平面區(qū)域{(x，y)

0≤x≤3 0≤y≤4

}內(nèi)，做出面積，滿足條件的事件是三角形OAD的區(qū)域，做出面積，根據(jù)幾何概型公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）每種情況出現(xiàn)的可能性相等，是一個古典概型
記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A
∵列舉出組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個：-4，-4+i，-4+2i，-3，-3+i，-3+2i，
-2，-2+i，-2+2i，0，i，2i，
其中事件A包含的基本事件共2個：i，2i．
∴所求事件的概率為P(A)=

2

12

=

1

6

（Ⅱ）依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域{(x，y)

0≤x≤3 0≤y≤4

}內(nèi)，
該平面區(qū)域的圖形為圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S=3×4=12．
所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域為{(x，y)|

x+2y-3≤0 x≥0 y≥0

}，
其圖形如下圖中的三角形OAD（陰影部分）
又直線x+2y-3=0與x軸、y軸的交點分別為A(3，0)，D(0，

3

2

)，
∴三角形OAD的面積為S1=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

.
∴所求事件的概率為P=

S1

S

=

9 4

12

=

3

16

.

點評：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．