Question

如圖在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求證：BC⊥平面PAC
（2）當D為PB中點時，求AD與平面PAC所成的角的余弦值；
（3）是否存在點E，使得二面角A-DE-P為直二面角，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證BC⊥平面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面PAC內兩相交直線垂直，而PA⊥BC，BC⊥AC，滿足定理所需條件；
（2）建立空間直角坐標系，求出各點坐標，由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夾角的公式求出此角即可；
（3）設D點的y軸坐標為a，DE⊥AE，DE⊥PE，當A-DE-P為直二面角時，PE⊥AE，利用垂直，向量的數量積為零建立等式關系，解之即可．

解答：解：（1）

PA⊥底面ABC BC?平面ABC

?PA⊥BC

BC⊥AC AC∩PA=A AC，PA?平PAC

?BC⊥平面PAC
（2）建立空間直角坐標系如圖，各點坐標分別為：
P（0，0，1），B（0，1，0），C(

3

4

，

3

4

，0)D(0，

1

2

，

1

2

)，E(

3

8

，

3

8

，

1

2

)
∴

AD

=(0，

1

2

，

1

2

)，

AE

=(

3

8

，

3

8

，

1

2

)，
由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴cos＜

AD

，

AE

＞=

AD • AE

|AD| | AE |

=

14

4

，
故所求二面角的余弦值為

14

4

（3）設D點的y軸坐標為a，DE⊥AE，DE⊥PE，當A-DE-P為直二面角時，PE⊥AE

AE

=(

3

3

a，a，1-a)，

PE

=(

3

3

a，a，-a)，得

AE

•

PE

=

1

3

a2+a2-a+a2=0?a=

3

7

∴E(

3

7

，

3

7

，

4

7

)，所以符合題意的E存在．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的運用，同時考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．