Question

如圖在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=13，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，M為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：PM⊥平面ABC；
（2）求直線BP與平面ABC所成的角的正切值．
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，由PA=PB=PC，知O為△ABC的外心，由∠ABC=90°，知O為AC邊的中點(diǎn)，即O與M點(diǎn)重合，由此能夠證明PM⊥平面ABC；
（2）由（1）知PM⊥平面ABC，連結(jié)MB，則∠PBM就是直線BP與平面ABC所成的角，在直角三角形PBM中，利用邊與角的關(guān)系即可求出答案．
（3）直接利用錐體的體積公式V=

1

3

•S_△ABC•PM即可得出答案．

解答：證明：（1）作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O為△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ABC=90°，∴O為AC邊的中點(diǎn)，
∴O與M點(diǎn)重合，
∴PM⊥平面ABC；
（2）連結(jié)MB，則∠PBM就是直線BP與平面ABC所成的角，
在直角三角形PBM中，PB=13，PM=12，BM=

1

2

AC=5
∴tan∠PBM=

12

5

；
（2）三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

•S_△ABC•PM=

1

3

×

1

2

×8×6×12=96．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查直線與平面所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．