Question

4．已知在各項為正的數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，${log_2}{a_{n+1}}+{log_2}{a_n}=n（n∈{N^*}）$，則${a_1}+{a_2}+…{a_{2017}}-{2^{1010}}$=-3．

Answer 1

分析 ${log_2}{a_{n+1}}+{log_2}{a_n}=n（n∈{N^*}）$，可得a_na_n+1=2ⁿ．可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2．數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為2，首項分別為1，2．利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：∵${log_2}{a_{n+1}}+{log_2}{a_n}=n（n∈{N^*}）$，
∴a_na_n+1=2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2．
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為2，首項分別為1，2．
則${a_1}+{a_2}+…{a_{2017}}-{2^{1010}}$=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）-2¹⁰¹⁰
=$\frac{{2}^{1009}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$-2¹⁰¹⁰=-3．
故答案為：-3．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、分組求和方法、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．