Question

【題目】已知冪函數 在（0，+∞）上為增函數，g（x）=f（x）+2
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）對于任意x∈[1，2]，都存在x1 ， x2∈[1，2]，使得f（x）≤f（x1），g（x）≤g（x2），若f（x1）=g（x2），求實數t的值；
（3）若2xh（2x）+λh（x）≥0對于一切x∈[1，2]成成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由冪函數的定義可知：m2+m﹣1=1 即m2+m﹣2=0，

解得：m=﹣2，或m=1，

∵f（x）在（0，+∞）上為增函數，∴﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m＜

綜上：m=1

∴f（x）=x2

（2）解：g（x）=﹣x2+2|x|+t

據題意知，當x∈[1，2]時，fmax（x）=f（x1），gmax（x）=g（x2）

∵f（x）=x2在區間[1，2]上單調遞增，

∴fmax（x）=f（2）=4，即f（x1）=4

又∵g（x）=﹣x2+2|x|+t=﹣x2+2x+t=﹣（x﹣1）2+1+t

∴函數g（x）的對稱軸為x=1，∴函數y=g（x）在區間[1，2]上單調遞減，

∴gmax（x）=g（1）=1+t，即g（x2）=1+t，

由f（x1）=g（x2），得1+t=4，∴t=3

（3）解：當x∈[1，2]時，2xh（2x）+λh（x）≥0等價于2x（22x﹣2﹣2x）+λ（2x﹣2﹣x）≥0

即λ（22x﹣1）≥﹣（24x﹣1），∵22x﹣1＞0，∴λ≥﹣（22x+1）

令k（x）=﹣（22x+1），x∈[1，2]，下面求k（x）的最大值；

∵x∈[1，2]∴﹣（22x+1）∈[﹣17，﹣5∴kmax（x）=﹣5

故λ的取值范圍是[﹣5，+∞）

【解析】（1）由冪函數的定義得：m=﹣2，或m=1，由f（x）在（0，+∞）上為增函數，得到m=1，由此能求出f（x）．（2）g（x）=﹣x2+2|x|+t，據題意知，當x∈[1，2]時，fmax（x）=f（x1），gmax（x）=g（x2），由此能求出t．（3）當x∈[1，2]時，2xh（2x）+λh（x）≥0等價于λ（22x﹣1）≥﹣（24x﹣1），由此能求出λ的取值范圍．