Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn).

①若對(duì)任意直線總存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)為的外心，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）依題意解之即得橢圓的方程.(2) ①設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，根據(jù)，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范圍 ②

由，.所以，解得,即可求出m值.

解：（1）依題意解得所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

代入橢圓的方程，消去，得.

因?yàn)橹本�交橢圓于兩點(diǎn)，所以，

解得.

設(shè)，，則有，.

①設(shè)中點(diǎn)為，

則有，.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，即.

解得.

當(dāng)時(shí)，可得，符合.

因此.

由，解得.

②因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，且，所以.

由

消去，得，所以 ，也是此方程的兩個(gè)根.

所以，.

又因?yàn)?/span>，，所以，解得.

所以.