Question

【題目】（本小題13分）已知數列滿足：，，且．記

集合．

（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；

（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數，證明：的所有元素都是3的倍數；

（Ⅲ）求集合的元素個數的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（III ）8．

【解析】（Ⅰ）由已知可知：

（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數，所以不妨設是3的倍數，由已知，可用用數學歸納法證明對任意，是3的倍數，當時，則M中的所有元素都是3的倍數，如果時，因為或，所以是3的倍數，于是是3的倍數，類似可得，都是3的倍數，從而對任意，是3的倍數，因此的所有元素都是3的倍數.

（Ⅲ）由于中的元素都不超過36，由，易得，類似可得，其次中的元素個數最多除了前面兩個數外，都是4的倍數，因為第二個數必定為偶數，由的定義可知，第三個數及后面的數必定是4的倍數，另外，M中的數除以9的余數,由定義可知，和除以9的余數一樣，

①若中有3的倍數，由（2）知：所有的都是3的倍數，所以都是3的倍數，所以除以9的余數為為3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍數只有12，除以9余6且是4的倍數只有24，除以9余0且是4的倍數只有36，則M中的數從第三項起最多2項，加上前面兩項，最多4項.

②中沒有3的倍數，則都不是3的倍數，對于除以9的余數只能是1，4，7，2，5，8中的一個，從起，除以9的余數是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不斷的6項循環（可能從2，4，8，7或5開始），而除以9的余數是1，2，4，8，5且是4的倍數(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的項加上前兩項最多8項，則時，，項數為8，所以集合的元素個數的最大值為8.