Question

8．若（x²-3x+2）⁵=${a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_{10}}{x^{10}}$
（1）求a₂
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a₁₀
（3）求$（{a_0}+{a_2}+{a_4}+{a_6}+{a_8}{+_{10}}{）^2}$-$（{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}+{a_9}{）^2}$．

Answer 1

分析 （1）（x²-3x+2）⁵的本質是5個x²-3x+2相乘，由多項式的乘法法則，產生x²的項有兩種可能：一個算式取x²的項，其他4個取常數項，得到${∁}_{5}^{1}×{2}^{4}$=80；兩個算式取x的項，其他3個取常數項，得到$C_5^2（-3{）^2}{2^3}=720$，可得a₂．
（2）令f（x）=（x²-3x+2）⁵=${a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，a₀=f（0），a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=f（1），即可得出．
（3）原式=（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₉+a₁₀）=f（1）f（-1）．

解答 解：（1）（x²-3x+2）⁵的本質是5個x²-3x+2相乘，由多項式的乘法法則，產生x²的項有兩種可能：一個算式取x²的項，其他4個取常數項，得到${∁}_{5}^{1}×{2}^{4}$=80；兩個算式取x的項，其他3個取常數項，得到$C_5^2（-3{）^2}{2^3}=720$，所以a₂=80+720=800…（4分）
（2）令f（x）=（x²-3x+2）⁵=${a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，
a₀=f（0）=2⁵=32，
a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=f（1）=0，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=-32…（8分）
（3）原式=（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₉+a₁₀）=f（1）f（-1）=0…（12分）

點評 本題考查了二項式定理的性質及其應用、方程思想、多項式乘法法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．