Question

如圖所示，已知圓為圓上一動點，點是線段的垂直平分線與直線的交點．

（1）求點的軌跡曲線的方程；

（2）設點是曲線上任意一點，寫出曲線在點處的切線的方程；（不要求證明）

（3）直線過切點與直線垂直，點關于直線的對稱點為，證明：直線恒過一定點，并求定點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）證明見解析，定點為．

【解析】

試題分析：（1）本題動點依賴于圓上中，本來這種問題可以用動點轉移法求軌跡方程，但本題用動點轉移法會很繁，考慮到圓的半徑不變，垂直平分線的對稱性，我們可以看出

，是定值，而且，因此點軌跡是橢圓，這樣我們可以利用橢圓標準方程寫出所求軌跡方程；（2）圓錐曲線的過其上點的切線方程，橢圓，切線為，

雙曲線，切線為，拋物線，切線為；（3）這題考查同學們的計算能力，現圓錐曲線切線有關的問題，由（2）我們知道切線斜率為，則直線的斜率為，又過點，可以寫出直線方程，然后求出點關于直線的對稱點的坐標，從而求出直線的方程，接著可從的方程觀察出是不是過定點，過哪個定點？這里一定要小心計算．

試題解析：（1）點是線段的垂直平分線,∴ 

∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.

橢圓長軸長為焦距2c=2.  

∴曲線E的方程為　　   5′

（2）曲線在點處的切線的方程是.   8′

（3）直線的方程為，即 .

設點關于直線的對稱點的坐標為,

則，解得

直線PD的斜率為

從而直線PD的方程為：

即, 從而直線PD恒過定點.   16′

考點：（1）橢圓的定義；（2）橢圓的切線方程；（3）垂直，對稱，直線過定點問題．