Question

【題目】若存在與正實數，使得成立，則稱函數在處存在距離為的對稱點，把具有這一性質的函數稱之為“型函數”．

（1）設，試問是否是“型函數”？若是，求出實數的值；若不是，請說明理由；

（2）設對于任意都是“型函數”，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是，；（2）.

【解析】

（1）假設函數是“型函數”，由定義得出，經過化簡計算出正實數的值即可；

（2）由題中定義得出，利用參變量分離法得出，利用雙勾函數的單調性求出在上的值域，即可得出實數的取值范圍.

（1）假設函數是“型函數”，由定義得出，

，由，得，

則有，，化簡得，解得.

因此，函數是“型函數”；

（2）對于任意都是“型函數”，

則，

即，

化簡得，即，

由雙勾函數的單調性可知，函數在上是增函數.

當時，，所以，，解得.

因此，實數的取值范圍是.