Question

(理)設函數f(x)=1+9x6tlnx，在x=a，x=b處分別取得極大值和極小值，連接函數圖像上A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點．

(1)求實數t的取值范圍；

(2)是否存在實數t，使得線段AB(包括兩端點)與直線x=1相交?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

(文)已知函數f(x)=mx3-x的圖像上，以N(1，n)為切點的切線的傾斜角為．

(1)求m，n的值；

(2)是否存在最小的正整數k，使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成?如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由。

(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈R，t＞0)．

Answer 1

答案：(理)(1)f′(x)=9+

依題意可知，a＞0，b＞0，f′(a)=f′(b)=0，a≠b，

∴a、b為f′(x)=0的兩個正根

∴

又A=(-6t)2-4×9×2t=36t(t-2)＞0，

∴t＞2或t＜2(不合題意)，故得t＜2．

(2)依題意得(a-1)(b-1)≤0ab-(a+b)+1≤0+1≤0t≥，符合t＞2．故當t≥時，線段AB與直線x=1相交．

(文)(1)求導數，有f′(x)=3mx²-1．

依題意得tan=f′(1)，即1=3m-1，m=，

∴f(x)=x³-x，又f(1)=n，故n=．

(2)令f′(x)=2x²-1=0，得x=.

當-1≤x＜時，f′(x)=2x²-1＞0；

當＜x≤3時，f′(x)=2x²-1＜0；

當＜x＜時，f′(x)=2x²-1＜0．

又f(-1)=，f()=,f()=，f(3)=15．

因此，當x∈[-1，3]時，≤f(x)≤15

故要使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1991=2006．

所以，存在最小的正整數k=2006使得不等式f(x)≤k-1991對于x∈[-1，3]恒成立．

(3)解法一：|f(sinx)+f(cosx)|

=|(sin³x-sinx)+(cos³x-cosx)|

=|(sin³x+cos³x)-(sinx+cosx)|

=|(six+cosx)[(sin²x-sinxcosx+cos²x)-1]|

=|sinx+cosx|·|sinxcosx|

=|sinx+cosx|³

=|sin(x+)|²≤.

又∵t＞0，∴t+≥，t²+≥1．

∴2f(t+)=2(t+)[]≥.

綜上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)，x∈R，t＞0．

解法二：由(2)知，函數f(x)在[-1，]上是增函數；在[]上是減函數；在[，1]上是增函數．

又因為f(-1)=，f()=，f()=，f(1)=．

所以，當x∈[-1，1]時，≤f(x)≤，

即|f(x)|≤．

因為sinx，cosx∈[-1，1]，所以|f(sinx)|≤，|f(cosx)|≤

所以|f(sinx)+f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤+≤.

又因為t＞0，所以t+≥＞1且函數f(x)在[1，+∞)上是增函數．

所以2f(t+)≥2f()=.

綜上可知|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)，x∈R。