Question

（1991•云南）已知函數f(x)=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）證明：對于任意不小于3的自然數n，都有f（n）＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設x₁，x₂為任意兩個實數，且x₁＜x₂，而f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用作差證明f（x₂）＞f（x₁）即可；
（Ⅱ）要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N，n≥3），即要證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，即要證2ⁿ-1＞2n（n≥3）．用數學歸納法即可證明；

解答：（Ⅰ）證明：設x₁，x₂為任意兩個實數，且x₁＜x₂，
f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
f（x₂）-f（x₁）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由指數函數性質知，(2x1+1)(2x2+1)＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N，n≥3），即要證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，
即要證2ⁿ-1＞2n（n≥3）．①
現用數學歸納法證明①式．
（1）當n=3時，左邊=2³-1=7，右邊=2×3=6，
∴左邊＞右邊，因而當n=3時①式成立．
（2）假設當n=k（k≥3）時①式成立，即有2^k-1＞2k，那么
2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k-1），
∵k≥3，∴2k-1＞0．
∴2^k+1-1＞2（k+1）．
這就是說，當n=k+1時①式成立．
根據（1）（2）可知，①式對于任意不小于3的自然數n都成立．
由此有f（n）＞

n

n+1

．（n≥3，n∈N）．

點評：本小題考查指數函數，數學歸納法，不等式證明等知識以及綜合運用有關知識解決問題的能力．