Question

【題目】如圖，在以P為頂點的圓錐中，母線長為，底面圓的直徑AB長為2，O為圓心.C是圓O所在平面上一點，且AC與圓O相切.連接BC交圓于點D，連接PD，PC，E是PC的中點，連接OE，ED.

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若二面角的大小為，求面PAC與面DOE所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由，得面，再得，從而可得線面垂直，于是有面面垂直；

（2）二面角的平面角為，大小為，這樣以為軸，在底面上作軸建立如圖的空間直角坐標系，用向量法求二面角．

（1）證明：AB是底面圓的直徑，AC與圓切于點A，

所以，

又底面，則，，

所以：面，

又因為，在三角形PAB中，

，所以面PAC，面PBC

所以：平面平面PAC；

（2）因為，，

為二面角的平面角，

，如圖建立坐標系，易知，

則，，，

，，，

由（1）知為平面PAC的一個法向量，

設平面ODE的法向量為，

，

，

解得：，

.