Question

【題目】已知AB是平面內(nèi)一條長(zhǎng)度為4的線段，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，P可以與A，B重合.當(dāng)P與A，B不重合時(shí)，直線PA與PB的斜率之積為，

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）一個(gè)矩形的四條邊與（1）中的軌跡M均相切，求該矩形面積的范圍.

Answer 1

【答案】（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸建立坐標(biāo)系，（2）

【解析】

（1））以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，把已知用坐標(biāo)表示可得軌跡方程；

（2）矩形一邊斜率不存在時(shí)直接求出面積，斜率存在時(shí)，設(shè)一邊所在的直線為，則對(duì)邊為，另一邊所在的直線為，則對(duì)邊為，由直線與圓相切得和的關(guān)系式，由平行間距離公式求得矩形的兩邊長(zhǎng)，計(jì)算面積為的函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性得取值范圍．

（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸建立坐標(biāo)系，

則，，設(shè)，當(dāng)P與A，B不重合時(shí)，

，

，，

P可以與A，B重合，所以P的軌跡方程為；

（2）矩形的各邊與橢圓相切，記矩形面積為S，

當(dāng)矩形的一條邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)易知，

當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，

設(shè)其中一邊所在的直線為，則對(duì)邊為，

另一邊所在的直線為，則對(duì)邊為，

，

，

則矩形的一邊長(zhǎng)，

同理可得：，矩形的另一邊長(zhǎng)，，

，，

綜上：.