Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點．

       （Ⅰ）求橢圓的標準方程；

       （Ⅱ）若與均不重合，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；

       （Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，

       ∵直線與圓相切，∴，即，----------------1分

又，即，，解得，，

所以橢圓方程為．---------------------------------------3分

（Ⅱ）設， ，，則，即，

則，， --------------------------------------4分

即，                 

∴為定值．-------------------------------6分

（Ⅲ）設，其中．

由已知及點在橢圓上可得，

整理得，其中．-------------------------7分

①當時，化簡得，

所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；

------------------8分

②當時，方程變形為，其中，

------------------------------------10分

       當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；

       當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；

       當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．    ---------------------------------------12分