Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．

（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BDEF；

（Ⅱ）若二面角CBFD的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)根據面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應用常規法，作出線面角，放在三角形當中來求解.

詳解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，

解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根據勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.

又因為DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.

又因為BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，

∴平面ADE⊥平面BDEF，

（Ⅱ）方法一：

如圖，由已知可得，，則

，則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.

則.

過點C做，交DB、AB于點G，H，則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG，則

，DE⊥平面ABCD，則平面.

過G做于點I，則BF平面，即角為

二面角CBFD的平面角，則60°.

則，，則.

在直角梯形BDEF中，G為BD中點，，，，

設 ，則，，則.

，則，即CF與平面ABCD所成角的正弦值為．

（Ⅱ）方法二：

可知DA、DB、DE兩兩垂直，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.

設DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).

，.

設平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)，

則所以取x=，所以m＝(，-1，－)，

取平面BDEF的法向量為n＝(1，0，0)，

由，解得，則，

又,則，設CF與平面ABCD所成角為，

則sin=.

故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為