Question

【題目】如圖，在多面體中，底面是邊長為的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面， ， 是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;（3）.

【解析】試題分析：（1）由平面 平面，及 ，得 平面（平面與平面垂直的性質）；（2）建立適當的空間直角坐標系，求得平面的法向量的坐標及 ，可得 與平面所成角的夾角的正弦值；（3）由（2）的空間直角坐標，可求得 的法向量 ，平面 的法向量，得 ，由二面角為銳角，得所求二面角的值。

（1）證明：因為四邊形是菱形，所以.

因為平面平面，且四邊形是矩形，所以平面，

又因為平面，所以.

因為，所以平面.

（2）設，取的中點，連接，

因為四邊形是矩形， 分別為， 的中點，所以，

又因為平面，所以平面，

由，得兩兩垂直,所以以為原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標系.

因為底面是邊長為的菱形， ， ，

所以.

因為平面，所以平面的法向量.

設直線與平面所成角為，由，得

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）由（2）得， ， ，

設平面的法向量為，

所以即

令，得，由平面，得平面的法向量為，

則，

由圖可知二面角為銳角，

所以二面角的大小為.