Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與此拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，那么線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程是

y²=2x-2

．

Answer 1

分析：先由拋物線的方程得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方程的點(diǎn)斜式設(shè)線段PQ所在的直線方程為 y-0=k（x-1），代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出線段PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，最后消去參數(shù) k，即得線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：由拋物線y²=4x的p=2得拋物線焦點(diǎn)為（1，0）
設(shè)PQ的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程y²=4x得：
k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴中點(diǎn)橫坐標(biāo)：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

中點(diǎn)縱坐標(biāo)：y=k（x-1）=

2

k

．即中點(diǎn)為（

k2+2

k2

，

2

k

）
消參數(shù)k，得：y²=2x-2
故答案為：y²=2x-2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查軌跡方程、圓錐曲線的軌跡問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．