Question

已知函數的圖象在點x=0處的切線方程為y=3x-2．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）設f′（x）≥6，求此不等式的解集．

Answer 1

解：（Ⅰ）把x=0代入y=3x-2中，得：y=-2，，則切點坐標為（0，-2），
把（0，-2）代入f（x）中，得：b=-2，
求導得：f′（x）=x²-2x+a，把x=0代入得：f′（0）=a，
又切線方程的斜率k=3，則a=3；
（Ⅱ）把a=3代入導函數得：f′（x）=x²-2x+3，
代入不等式得：x²-2x+3≥6，
變形得：（x-3）（x+1）≥0，
可化為：或
解得：x≤-1或x≥3，
則原不等式的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞）．
分析：（Ⅰ）先把x=0代入切線方程，求出的y值為切點的縱坐標，確定出切點坐標，把切點坐標代入f（x）中即可求出b的值，然后求出f（x）的導函數，把x=0代入導函數中，令求出的導函數值等于切線方程的斜率3，即可求出a的值；
（Ⅱ）把第一問中求出的a與b的值代入f（x）的導函數中，確定出導函數解析式，令導函數等于等于6，得到關于x的一元二次不等式，求出不等式的解集即可．
點評：此題考查了利用導數研究曲線上某地切線方程的斜率，以及一元二次不等式的解法．要求學生掌握求導法則，采用轉化的思想求不等式的解集．