Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）

【解析】

（1）當時,,則,令,進而求得單調(diào)區(qū)間即可；

（2）轉(zhuǎn)化問題為求在上恒成立時的取值范圍,對求導,分類討論即可得到的值

解：（1）當時,,

所以,

令,則,

所以當時,則；當,則,

所以是上的減函數(shù),是上的增函數(shù),

故函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為

（2）解：由（1）知,

當時,對恒成立,所以是上的增函數(shù),

注意到,所以時,,不合題意；

當時,令,則,所以當時,；

當時,,

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

故只需,

設(shè),則,

令,則,

當時,；當時,,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào),

故當且僅當時等號成立,

所以當且僅當時,成立,即為所求.