Question

【題目】已知實數x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5滿足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5
（1）求證不等式x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1
（2）隨機變量X取值 的概率均為 ，隨機變量Y取值 的概率也均為 ，比較DX與DY大小關系．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5，

∴ + ＞2x1x2，

+ ＞2x2x3，

+ ＞2x3x4，

+ ＞2x4x5，

+ ＞2x5x1，

∴2（ + + + + ）＞2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x1，

∴x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1

（2）解：設 = （x1+x2+…+x5）．

EX= + + + = （x1+x2+…+x5）= ．

EY= +…+ = （x1+x2+…+x5）= ．

DX= +…+ ，

DY= + +…+ ，

又∵實數x1，x2，x3，x4，x5滿足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5，

∴DX﹣DY= + +…+

= × ×[（x1﹣x2）（5x1+7x2）+（x2﹣x3）（5x2+7x3）+…+（x5﹣x1）（5x5+7x1）]

= ×（x1x2+x2x3+…+x5x1﹣ ﹣…﹣

=﹣ +…+ ＜0，

∴DX＜DY

【解析】（1）0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5，利用基本不等式的性質可得 + ＞2x1x2， + ＞2x2x3，…， + ＞2x5x1，相加即可得出．（2）設 = （x1+x2+…+x5）．利用數學期望計算公式可得EX，EY．再利用方差計算公式可得DX，DY．作差即可比較出大小關系．