Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．

（1）求證：AB⊥PC；
（2）求二面角B一PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC，

∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB

又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，

∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB

又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，

又PC平面PCO，∴AB⊥PC

（2）解：∵ABCD為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ，

∴PO=1，CO= ，∴OP2+OC2=PC2，

∴OP⊥OC，

以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，

建立空間直角坐標系，

則A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（ ，0，0），

P（0，0，1），D（ ，﹣2，0），

=（ ，﹣1，0）， =（ ，0，-1）， =（0，2，0），

設平面DCP的法向量 =（x，y，z），

則 ，令x=1，得 =（1，0， ），

設平面PCB的法向量 =（a，b，c），

，令a=1，得 =（1， ， ），

cos＜ ＞= = ，

∵二面角B一PC﹣D為鈍角，∴二面角B一PC﹣D的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）取AB的中點O，連接PO，CO，AC，由已知條件推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．（2）由已知得OP⊥OC，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．