Question

（2007•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=2

x

+

4-x

，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ā　。?/div>

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分析：先根據(jù)x+4-x=4，與x無(wú)關(guān)，結(jié)合三角恒等式：sin²θ+cos²θ=1，觀察相似之處，便可利用換元法；設(shè)

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，再結(jié)合輔助角公式以及三角函數(shù)的圖象即可得到答案．

解答：解：設(shè)

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，α∈[0，

π

2

]．
則f（x）=4sinα+2cosα=2

5

sin（α+arctan2）．
根據(jù)三角函數(shù)圖象，當(dāng)α+arctan2=

π

2

時(shí)f（x）取得最大值2

5

；
當(dāng)α=0時(shí)f（x）取得最小值2．
∴f（x）的值域?yàn)閇2，2

5

]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：三角換元是一種十分實(shí)用的方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一項(xiàng)基本的思想-轉(zhuǎn)化．而且與許多知識(shí)都有交叉易錯(cuò)點(diǎn)換元后θ的范圍十分重要，要根據(jù)具體的題目而定．

Answer 1

分析：先根據(jù)x+4-x=4，與x無(wú)關(guān)，結(jié)合三角恒等式：sin²θ+cos²θ=1，觀察相似之處，便可利用換元法；設(shè)

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，再結(jié)合輔助角公式以及三角函數(shù)的圖象即可得到答案．

解答：解：設(shè)

x

=2sinα，

4-x

=2cosα，α∈[0，

π

2

]．
則f（x）=4sinα+2cosα=2

5

sin（α+arctan2）．
根據(jù)三角函數(shù)圖象，當(dāng)α+arctan2=

π

2

時(shí)f（x）取得最大值2

5

；
當(dāng)α=0時(shí)f（x）取得最小值2．
∴f（x）的值域?yàn)閇2，2

5

]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：三角換元是一種十分實(shí)用的方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一項(xiàng)基本的思想-轉(zhuǎn)化．而且與許多知識(shí)都有交叉易錯(cuò)點(diǎn)換元后θ的范圍十分重要，要根據(jù)具體的題目而定．