Question

【題目】如圖，已知三棱柱中，底面，，，，.，分別為棱，的中點.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）若為線段的中點，試在圖中作出過、、三點的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出以該多邊形為底，為頂點的棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）截面見詳解，體積為

【解析】

（1）連接交于點，根據中位線定理找到與的平行線，并找到異面直線與所成角，計算長度，根據余弦定理，可得結果.

（2）畫出截面，計算四邊形的面積，根據//面，可得到面的距離，結合椎體體積公式，可得結果.

（1）連接交于點，連接

如圖

由底面，面，

所以，又

所以，面

所以面，

故四邊形為矩形，所以共線

為的中點，所以//，

故異面直線與所成角為

，，，

且，分別為棱，的中點

所以

所以

又且

所以為等腰直角三角形，

故

（2）取的中點連接，

又為線段的中點，所以//

則//，且

過、、三點的平面截該棱柱

所得的多邊形為四邊形

由（1）可知，//且

所以四邊形為直角梯形，

所以

又平面，面，

所以//平面，作

所以

且到截面的距離即

所以