Question

設函數y=f（x）是定義在R上的增函數，且f（x）≠0，對于任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（1）求證：f（x）＞0；
（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）

Answer 1

分析：（1）觀察題設中的條件發現如果令x1=x2=

x

2

，則可直接得到f(x)=f2(

x

2

)再結合y=f（x）定義域上恒不為零即可得到所證的結果．
（2）由f（1）=2，結合f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）可以得到4f（x）=f（x+2），由題設知函數y=f（x）是定義在R上的增函數
可將不等式f（3x）＞4f（x）變為3x＞2+x，由此可以解出不等式的解集．

解答：解：（1）證明：令x1=x2=

x

2

，
則f(x)=f(

x

2

)•f(

x

2

)=f2(

x

2

)，
∵f(

x

2

)≠0，
∴f2(

x

2

)＞0，則f（x）＞0．

（2）解：∵f（1）=2，
∴2f（x）=f（1）•f（x）=f（1+x），4f（x）=2•2f（x）=f（1）•f（x+1）=f（x+2）
∴f（3x）＞4f（x）可以變為f（3x）＞f（2+x）
又f（x）在定義域R上是增函數，
∴3x＞2+x
∴x＞1，
故不等式f（3x）＞4f（x）的解集為{x|x＞1}

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查通過靈活賦值構造出可以證明結論的形式來證明命題，以及通過所給的函數的性質將不等式化簡，以達到利用函數的單調性解抽象不等式的目的，抽象不等式的求解一般都循著這樣的一個思路．題后應好好總結本題的解題規律．