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【題目】如圖所示，四棱錐中，側面底面，底面是平行四邊形，，，，是中點，點在線段上.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若，求實數使直線與平面所成角和直線與平面所成角相等.

【答案】(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由線面垂直的判定定理，先證明平面，進而可得；

（Ⅱ）先結合(Ⅰ)證明底面，以為原點，延長線、、分別為、、軸建系，用表示出直線的方向向量與平面的法向量的夾角余弦值，以及直線的方向向量與平面的法向量的夾角余弦值，根據兩角相等，即可得出結果.

(Ⅰ)解：中，∴∴；

連，中

∴∴，∴

又∴平面∴

(Ⅱ)由（1）：，又側面底面于，∴底面，∴以為原點，延長線、、分別為、、軸建系；

∴，，,，，

∴，，，

設，（），則

，

設平面的一個法向量，則，可得

又平面的一個法向量

由題：，即

解得：

練習冊系列答案

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A.B.

C.D.

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【題目】2018年12月18日上午10時，在人民大會堂舉行了慶祝改革開放40周年大會．40年眾志成城，40年砥礪奮進，40年春風化雨，中國人民用雙手書寫了國家和民族發展的壯麗史詩．會后，央視媒體平臺，收到了來自全國各地的紀念改革開放40年變化的老照片，并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”，其作者年齡集中在之間，根據統計結果，做出頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求這100位作者年齡的樣本平均數和樣本方差（同一組數據用該區間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，作者年齡X服從正態分布，其中近似為樣本平

均數，近似為樣本方差．

（i）利用該正態分布，求；

（ii）央視媒體平臺從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“紀念改革開放40年圖片展”表彰大會，現要從中選出3人作為代表發言，設這3位發言者的年齡落在區間的人數是Y，求變量Y的分布列和數學期望．附：，若，則，

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【題目】如圖，在四棱錐中，且和分別是棱和的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值.

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【題目】高鐵、網購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發明”，彰顯出中國式創新的強勁活力．某移動支付公司從某市移動支付用戶中隨機抽取100人進行調查，得到如下數據：

每周移動支付次數	1次	2次	3次	4次	5次	6次及以上
男	10	8	7	3	2	15
女	5	4	6	4	6	30
總計	15	12	13	7	8	45

（1）把每周使用移動支付6次及以上的用戶稱為“移動支付達人”，按分層抽樣的方法，從參與調查的“移動支付達人”中，隨機抽取6人，求抽取的6人中，男、女用戶各多少人；

（2）把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，根據表格中的數據完成下列列聯表，問：能否有的把握認為“移動支付活躍用戶”與性別有關？

	非移動支付活躍用戶	移動支付活躍用戶	總計
男
女
總計

附參照表：

	0.10	0.05	0.025	0.01
	2.706	3.841	5.024	6.635

參考公式：，其中

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【題目】某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：，整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學校高三年級女生總人數；

（2）若規定小于60分為“不及格”，從該學校高三年級學生中隨機抽取一人，估計該學生不及格的概率；

（3）若規定分數在為“良好”,為“優秀”.用頻率估計概率,從該校高三年級隨機抽取三人,記該項測試分數為“良好”或“優秀”的人數為X,求X的分布列和數學期望.

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