Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（Ⅰ）求A的大�。�
（Ⅱ）求表達式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得到的關(guān)系式代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由第一問求出的A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出B+C的度數(shù)，可設(shè)設(shè)B=

π

3

+α∈（0，

π

2

），C=

π

3

-α∈（0，

π

2

），進而求出α的范圍，把設(shè)出的B和A代入表達式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

中，利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，最后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)中化為一個角的正切函數(shù)，由α的范圍求出這個角的范圍為（

π

12

，

5π

12

），根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到在此區(qū)間正切函數(shù)單調(diào)遞增，可得t的最小值為tan

π

12

和及最大值為tan

5π

12

，同時利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及誘導公式分別求出tan

π

12

和tan

5π

12

的值，即可得到所求表達式的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
根據(jù)正弦定理化簡得：2a²=b（2b-c）+c（2c-b），…（1分）
即a²=b²+c²-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（3分）
又0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=

2π

3

，
設(shè)B=

π

3

+α∈（0，

π

2

），C=

π

3

-α∈（0，

π

2

），可得：-

π

6

＜α＜

π

6

，
∴t=

sinB+cosC

cosB+sinC

=

sin( π 3 +α)+cos( π 3 -α)

cos( π 3 +α) +sin( π 3 -α)

=

cosα+sinα

cosα-sinα

=

1+tanα

1-tanα

=tan（α+

π

4

），…（8分）
∵-

π

6

＜α＜

π

6

，∴

π

12

＜α+

π

4

＜

5π

12

，
又函數(shù)y=tanx在區(qū)間（

π

12

，

5π

12

）上是增函數(shù)，
∴tan

π

12

＜t＜tan

5π

12

，…（10分）
又tan

π

12

=

sin π 12

cos π 12

=

2sin2 π 12

2sin π 12 cos π 12

=

1-cos π 6

sin π 6

=2-

3

，
tan

5π

12

=tan（

π

2

-

π

12

）=

1

tan π 12

=

1

2- 3

=2+

3

，
則表達式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

的取值范圍是（2-

3

，2+

3

）．…（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及正切函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．