Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）在上述△ABC中，若角C的對邊c=1，求該三角形內切圓半徑的取值范圍．

Answer 1

（1）根據正弦定理，原式可變形為：c（cosA+cosB）=a+b①，
∵根據任意三角形射影定理得：a=b•cosC+c•cosB，b=c•cosA+a•cosC，
∴a+b=c（cosA+cosB）+cosC（a+b）②，
由于a+b≠0，故由①式、②式得：cosC=0，
∴在△ABC中，∠C=90°，
則△ABC為直角三角形；
（2）∵c=1，sinC=1，∴由正弦定理得：外接圓半徑R=

c

2sinC

=

1

2

，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R=1，即a=sinA，b=sinB，
∵sin（A+

π

4

）≤1，
∴內切圓半徑r=

1

2

（a+b-c）=

1

2

（sinA+sinB-1）=

1

2

（sinA+sinB）-

1

2

=

2

2

sin（A+

π

4

）-

1

2

≤

2 -1

2

，
∴內切圓半徑的取值范圍是（0，

2 -1

2

]．