Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，△PAC為等腰直角三角形，為正三角形，D為A的中點，AC=2．

(1)證明：PB⊥AC；

(2)若三棱錐的體積為，求二面角A—PC—B的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）由題意證得，，從而有平面，則；

（2）設三棱錐的高為，，根據體積公式求得，從而平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，又是平面的一個法向量，根據公式可得二面角的余弦值為．

（1）證：為等腰直角三角形，為中點，，

又為正三角形，為中點，，

又，平面，

平面PBD，又平面，

（2）解：設三棱錐的高為，

，

，

，又平面ABC，

如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，，

設為平面的一個法向量，則，即，

令，得，，

又是平面的一個法向量，∴，

由圖可知二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為．