Question

如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，.

(Ⅰ)求證：平面平面；

(Ⅱ)設．

(ⅰ) 若直線與平面所成的角為，求線段的長；

(ⅱ) 在線段上是否存在一個點，使得點到點的距離都相等？說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ，不存在點.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐標系，設平面的法向量為，利用兩向量垂直，，列表達式，求出法向量，再由直線與平面所成的角為，得出法向量中的參量；先設存在點，找出的坐標，利用距離相等，列出表達式，看方程是否有根來判斷是否存在點.

試題解析：解法一：

(Ⅰ)證明：因為平面，平面，

所以，又，，

所以平面，又平面，

所以平面⊥平面.                 3分

(Ⅱ)以為坐標原點，建立空間直角坐標系 (如圖)．

在平面內，作交于點，則.

在中，，

.

設， 則，．

由得，

所以，，，

，．                 5分

(ⅰ)設平面的法向量為．

由，，得

取，得平面的一個法向量．

又，故由直線與平面所成的角為得

，即.

解得或 (舍去，因為)，所以.           7分

(ⅱ)假設在線段上存在一個點，使得點到點的距離都相等．

設 (其中)．

則，，

．

由，得，

即；①

由，得.  ②

由①、②消去，化簡得. ③

由于方程③沒有實數根，所以在線段上不存在一個點，使得點到點的距離都相等．

從而，在線段上不存在一個點，

使得點到點的距離都相等．              12分

解法二：

(Ⅰ)同解法一：

(Ⅱ)(ⅰ)以為坐標原點，建立空間直角坐標系 (如圖)．

在平面內，作交于點，

則，

在中，

，

.

設，則，．

由得.

所以，，，

，．                 5分

設平面的法向量為．

由，，得

取，得平面的一個法向量．

又，故由直線與平面所成的角為得

，即.

解得或 (舍去，因為)，所以.           7分

(ⅱ)假設在線段上存在一個點，使得點到點的距離都相等．

由 ，得，

從而，即，

所以.

設，則，.

在中，

，這與矛盾．

所以在線段上不存在一個點，使得點到的距離都相等．

從而，在線段上不存在一個點，使得點到點的距離都相等

考點：1.線面垂直的判定；2.面面垂直的判定；3.向量垂直的應用；4.線面角公式.