Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、G分別是AB、DF的中點．
（1）求證：CM⊥平面FDM；
（2）在線段AD上（含A、D端點）確定一點P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為直線FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD所以FD⊥CM．在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M為AB的中點，DM=CM=

2

a所以CM⊥DM．進而根據線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（Ⅱ）點P在A點處．取DC中點S，連接AS、GS、GA．因為G是DF的中點，GS∥FC，AS∥CM所以面GSA∥面FMC，根據面面平行的性質定理可得GP∥平面FMC

解答：解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC
（Ⅰ）∵直線FD⊥平面ABCD，CM?平面ABCD
∴FD⊥CM
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M為AB的中點，DM=CM=

2

a
∴CM⊥DM
又因為DM∩FD=D，FD?平面FDM，DM?平面FDM
∴CM⊥平面FDM
（Ⅱ）點P在A點處．
證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA
∵G是DF的中點，GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC，而GA?面GSA，
∴GP∥平面FMC

點評：解決線面垂直的方法是在平面內找到兩條相交直線與已知直線垂直即可，解決探索性問題最有效的方法是找特殊點如端點與線段的中點處，也可以利用空間向量解決此類問題．