Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點．
（Ⅰ）求證：GN⊥AC；
（Ⅱ）求二面角F-MC-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接DB，欲證GN⊥AC，只需證AC⊥面FDN，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與面FDN內兩相交直線垂直，而FD⊥AC，AC⊥DN，滿足定理條件；
（Ⅱ）取BC中點R，連接DR交MC于Q，連接FQ，根據二面角平面角的定義可知∠DQF即為二面角F-MC-D的平面角，在Rt△DQF中求出此角的正切值即可．

解答：解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC．
（Ⅰ）連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN．
又FD⊥AD，FD⊥CD，
∴FD⊥面ABCD．
∴FD⊥AC．
∴AC⊥面FDN，GN?面FDN．
∴GN⊥AC．

（Ⅱ）取BC中點R，連接DR交MC于Q，連接FQ．
在Rt△CDR和Rt△BCM中，CD=BC，RC=MB，
∴Rt△CDR≌和Rt△BCM，
∴∠RDC=∠BCM，而∠DCQ+∠BCM=90°
∴∠DCQ+∠RDC=90°，
∴RD⊥MC．
而FD⊥面ABCD，故FD⊥MC．
∴MC⊥面FDQ，
∴MC⊥FQ，
∴∠DQF即為二面角F-MC-D的平面角．
在Rt△CDR中，DR=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a．
由射影定理知，CD²=DQ•DR，得DQ=

a2

5 2 a

=

2 5 a

5

．
在Rt△DQF中，tan∠DQF=

DF

DQ

=

a

2 5 a 5

=

5

2

．
故二面角F-MC-D的正切值是

5

2

．

點評：本題主要考查直三棱柱的有關知識，以及求二面角的問題，以及分析問題與解決問題的能力．簡單幾何體是立體幾何解答題的主要載體，特別是棱柱和棱錐．由于棱錐已多次出現在高考試題中，估計今年高考會以棱柱為載體來命題．