Question

在△ABC中，已知．
（1）求證：tanB=3tanA；
（2）若tanC=2，求A的值．

Answer 1

解：（1）因為，所以AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，…（2分）
即AC•cosA=3BC•cosB，由正弦定理知
從而sinBcosA=3cosBsinA…（4分）
因為A、B∈（0，π），結合上式可得cosA，cosB同號，只能為正，
同除以cosAcosB可得tanB=3tanA…（6分）
（2）因為tanC=2，所以tan[π-（A+B）]=2即tan（A+B）=-2…（8分）
即，由（1）得
解得tanA=1或…（12分）
因為cosA＞0，故tanA=1，所以…（13分）
分析：（1）由題意可得AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，即AC•cosA=3BC•cosB，結合正弦定理可得sinBcosA=3cosBsinA，同除以cosAcosB可得答案；（2）由已知可得，代入（1）得，解得tanA=1或，結合cosA＞0，可得答案．
點評：本題考查三角函數的運算，涉及向量的數量積，屬中檔題．