Question

對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數．計算：[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值=

8204

．

Answer 1

分析：根據符號[x]的定義，逐項求出值，注意值的部分相等性，再借助于數列求和運算得出結果．

解答：解：當[log₂x]=n，n∈N時，2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹，若x是正整數，則x共有2ⁿ項∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9+10．令S=2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9①則2S=2²×1+2³×2+2⁴×3+2⁴×4+…2⁹×8+2¹⁰×9②
①-②得-S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2⁹-2¹⁰×9=-2（1-2⁹）-2¹⁰×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案為：8204．

點評：本題是新定義，考查理解、分析，計算能力．新定義類型題目要準確理解、把握住定義的本質，轉化成已有的知識和方法解決．