Question

【題目】某市在創建全國旅游城市的活動中,對一塊以O為圓心,R(R為常數,單位:米)為半徑的半圓形荒地進行治理改造,其中弓形BCD區域(陰影部分)種植草坪,△OBD區域用于兒童樂園出租,其余區域用于種植觀賞植物.已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元,兒童樂園出租的利潤是每平方米95元.

(1)設∠BOD=θ(單位:弧度),用θ表示弓形BCD的面積S弓=f(θ).

(2)如果該市規劃辦邀請你規劃這塊土地,如何設計∠BOD的大小才能使總利潤最大?并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）S弓=f(θ)= R2(θ-sin θ),θ∈(0,π).（2）見解析

【解析】

（1）由S弓=S扇﹣S△，利用扇形及三角形面積公式即得；

（2）由題意列出函數關系式，利用導數判斷函數單調性求得最大值即可．

解: （1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，

S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）

（2）設總利潤為y元，兒童樂園利潤為y1元，種植草坪成本為y2元，種植觀賞植物成本為y3元；

則y1=R2sinθ95，y2=R2（θ﹣sinθ）5，y3=R2（π﹣θ）55，

∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），

設g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．

∴g′（θ）=100cosθ+50

∴g′（θ）>0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上為增函數；

g′（θ）<0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上為減函數；

當θ=時，g（θ）取到最大值，此時總利潤最大，

此時總利潤最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．

答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤取最大值R2（50﹣π）