Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1是菱形，且CA＝CB1．

（1）證明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）設AB1與A1B交于O，連接OC，先證明AB1⊥平面CA1B，再根據面面垂直的判定定理即可得證；

（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故OC⊥平面ABB1A1，以O為原點，分別以OA，OB，OC為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面CA1B1和平面C1A1B1的法向量，利用夾角公式求出即可．

（1）證明：設AB1與A1B交于O，連接OC，如圖，

因為側面ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，

又CA＝CB1，所以OC⊥AB1，又A1B∩CO＝O，

故AB1⊥平面CA1B，又AB1平面CAB1，

故平面CBA1⊥平面CB1A；

（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，

故OC⊥平面ABB1A1，以O為原點，分別以OA，OB，OC為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，

設A1C＝BC＝BA1＝2，則OC，

則，，A1(0,﹣1,0)，B(0,1,0)，

由，得，

所以，，，

設平面CA1B1的一個法向量為，

由，得，

設平面C1A1B1的一個法向量為，

由，得 ，

故cos，

又二面角C﹣A1B1﹣C1為銳角，

故二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值為．