Question

已知函數f（x）=log₂（x+m），且f（0），f（2），f（6）成等差數列．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是兩兩不相等的正數，且a，b，c成等比數列，試比較f（a）+f（c）與2f（b）的大小．

Answer 1

分析：（1）把x=0，2，6代入函數解析式，表示出f（0），f（2），f（6），由f（0），f（2），f（6）成等差數列，根據等差數列的性質列出關系式，利用對數的運算法則化簡后，得到關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）把x=a，c及b分別代入函數解析式表示出f（a）+f（c）及f（b），根據a，b，c成等比數列，利用等比數列的性質得到關系式b²=ac，先表示出兩真數之差（a+2）（c+2）-（b+2）²，利用多項式的乘法法則及完全平方公式化簡后把b²=ac代入，再利用基本不等式求出a+c的最小值，判斷出差大于0，進而得到（a+2）（c+2）與（b+2）²的大小，根據對數函數的底數2大于1，對數函數為增函數，可判斷出f（a）+f（c）與2f（b）的大小．

解答：解：（1）由f（0），f（2），f（6）成等差數列，
得2log₂（2+m）=log₂m+log₂（6+m），（2分）
即 （m+2）²=m（m+6）（m＞0），∴m=2（5分）
（2）f（a）+f（c）=log₂（a+2）（c+2），2f（b）=log₂（b+2）²（7分）
∵b²=ac，
∴（a+2）（c+2）-（b+2）²=2（a+c）-4b（9分）
∵a+c＞2

ac

=2b(a≠c)，
∴2（a+c）-4b＞0（11分）
∴log₂（a+2）（c+2）＞log₂（b+2）²，
則f（a）+f（c）＞2f（b）．（12分）

點評：此題考查了等差數列的性質，等比數列的性質，對數函數的單調性及特殊點，熟練掌握性質是解本題的關鍵，本題的第二問是利用作差的方法來比較大小的，注意此方法的運用．