Question

若二項式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項的系數成等差數列，求：
（Ⅰ）展開式中含x的項；
（Ⅱ）展開式中所有的有理項．

Answer 1

二項式的展開式的通項公式為：Tr+1=

C

rn

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

rn

1

2r

x

2n-3r

4

前三項的r=0，1，2
得系數為t1=1，t2=

C

1n

•

1

2

=

1

2

n，t3=

C

2n

•

1

4

=

1

8

n(n-1)
由已知：2t2=t1+t3，n=1+

1

8

n(n-1)
得n=8
通項公式為Tr+1=

C

r8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4，得r=4，得T5=

35

8

x
（II）當r=0，4，8時，依次得有理項T1=x4，T5=

C

48

1

24

x=

35

8

x，T9=

C

88

1

28

x-2=

1

256

x2