Question

（03年北京卷文）（14分）

設是定義在區間上的函數，且滿足條件：

   （i）

   （ii）對任意的

   （Ⅰ）證明：對任意的

   （Ⅱ）判斷函數是否滿足題設條件；

   （Ⅲ）在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數，且使得對任意的

           

若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：由題設條件可知，當時，有

即

（Ⅱ）答：函數滿足題設條件.驗證如下：

對任意的，

當

當

當不妨設 

有

所以，函數滿足題設條件.

（Ⅲ）答：這樣滿足的函數不存在.理由如下：

     假設存在函數滿足條件，則由得①

   由于對任意的，都有

   所以，②  ①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數不存在.