Question

已知函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a=

3

f(

3

)，b=(lg3)f(lg3)，c=(log2

1

4

)f(log2

1

4

)，則a，b，c的大小關系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b

Answer 1

設F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵當x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴當x∈（-∞，0）時，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在區間（-∞，0）上是減函數，
∵函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，
∴F（x）=xf（x）是定義在實數集R上的偶函數，在區間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數．
∵0＜lg3＜lg10=1，

3

∈（1，2）
∴F（2）＞F（

3

）＞F（lg3）
∵log

1

2

4=-2，從而F（log

1

2

4）=F（-2）=F（2）
∴F（log

1

2

4）＞F（

3

）＞F（lg3）
即(log2

1

4

)f(log2

1

4

)＞

3

f(

3

)＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
故答案為：A