Question

【題目】已知函數f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然對數的底）與g（x）＝3lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，則實數a的取值范圍是（ ）

A.[0，e3﹣4]B.[0，2]

C.[2，e3﹣4]D.[e3﹣4，+∞）

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據題意，可以將原問題轉化為方程a+1＝x3﹣3lnx在區間[，e]上有解，構造函數g（x）＝x3﹣3lnx，利用導數分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，進而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在區間[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解：根據題意，若函數f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然對數的底）與g（x）＝3lnx的圖象上存在關于x軸對稱的點，

則方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在區間[，e]上有解，

﹣x3+1+a＝﹣3lnxa+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在區間[，e]上有解，

設函數g（x）＝x3﹣3lnx，其導數g′（x）＝3x2，

又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的極值點，

分析可得：當x≤1時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，

當1≤x≤e時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，

故函數g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，

又由g（）3，g（e）＝e3﹣3；比較可得：g（）＜g（e），

故函數g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，

故函數g（x）＝x3﹣3lnx在區間[，e]上的值域為[1，e3﹣3]；

若方程a+1＝x3﹣3lnx在區間[，e]上有解，

必有1≤a+1≤e3﹣3，則有0≤a≤e3﹣4，

即a的取值范圍是[0，e3﹣4]；

故選：A．