Question

已知各項都為正數的等比數列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m，a_n，使得

am•an

=4a1，則m（1+n）的最大值等于

12

．

Answer 1

分析：由條件求得q=2，再由

am•an

=4a1，求得m+n=6，再根據 m（1+n）=（6-n）（1+n），利用二次函數的性質可得m（1+n）的最大值．

解答：解：設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，∵a₇=a₆+2a₅，則a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴，即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）．
∵

am•an

=4a1，故有a12×2m+n-2=16 a12，則m+n=6．
則m（1+n）=（6-n）（1+n），利用二次函數的性質可得，當n=3時，m（1+n）取得最大值為12，
故答案為 12．

點評：本題考查的知識點是等比數列的性質，基本不等式，其中得到m+n=6，m（1+n）=（6-n）（1+n），是解題的關鍵，屬于中檔題．